Родился в 1915 году в деревне Тураевой Тюменского района Тюменской области. Рано осиротел. Окончил пять классов. Работал в колхозе трактористом.

В 1941 году был призван в Красную армию. На фронте с августа 1942 года. Служил в войсках связи, линейный надсмотрщик. Воевал на Западном, Воронежском, Юго-Западном, Брянском, Центральном, 1-м Украинском фронтах.

В сентябре 1943 года боец Аширбеков охранял линию связи, которая была проложена через Днепр. Соединять то и дело рвавшийся кабель в холодной воде на виду противника было особенно сложно. В результате командование было в курсе обстановки на переднем крае.

28 января 1944 года, в боях под Бердичевом Ахмет Аширбеков погиб, выполняя свой служебный долг. Похоронен в Бердичеве.

Звание Героя Советского Союза А. Р. Аширбекову присвоено 17 ноября 1943 года.

Имя Героя занесено в книгу почёта Ембаевсой средней школы. Возле школы воздвигнут обелиск, растет аллея имени Ахмета Рашидовича Аширбекова. На одном из домов деревни Тураевой есть памятная доска с надписью: «Здесь жил Герой Советского Союза Аширбеков Ахмет Рашидович».

(Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И.Н. Шкадов. — М.:Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с.)